Analisi alla Koiter

Il metodo perturbativo di Koiter è un metodo particolarmente adatto per studiare la sensibilità all'imperfezione di strutture elastiche snelle, specie se quest'ultime presentano più modi di buckling coincidenti o quasi coincidenti. L'obiettivo dell'attività di ricerca è di fornire una formulazione in ambito FEM del metodo che sia concorrenziale rispetto a classiche formulazioni path-following. A tal fine è stata proposta anche una variante del metodo perturbativo che utilizza uno schema ad elementi finiti misti (in variabili spostamento e tensione) che consente la formulazione di un approccio numerico molto robusto ed accurato. Le applicazioni riguardano sia modelli strutturali semplici (travature reticolari spaziali e sistemi piani di travi) sia strutture di interesse applicativo in ambito aeronautico (assemblaggi di pannelli sottili in materiale composito). E’ in corso di sviluppo un modello basato su misure di deformazione esatte.

Strategie path-following

L'attività di ricerca ha come obbiettivo una formulazione robusta del metodo path-following che costituisce lo standard di riferimento nell'analisi nonlineare delle strutture snelle. All'interno di tale attività è possibile distingure due filoni di studio. 1) Studio di un algoritmo basato su un formulazione mista del problema discreto. L'algoritmo che ne deriva risulta estremamente più robusto rispetto alle usuali implementazioni compatibili grazie alla minore nonlinearità che assume il percorso di equilibrio. Le applicazioni riguardano le stesse tipologie strutturali esaminate con la formulazione asintotica (travature reticolari spaziali, telai piani e strutture a pannelli sottili). 2) Miglioramento della fase di predictor nell'ambito di strategie path-following tramite l'uso di efficienti schemi di estrapolazioni. Ciò al fine di migliorare le caratteristiche computazionali del metodo di soluzione e di una più accurata riproduzione delle configurazioni di equilibrio. Il risultato finale è una maggiore semplicità nelll'individuazione dei punti di biforcazione e nella definizione delle tangenti ai percorsi di equilibrio tramite tecniche perturbative locali.

Buckling multi-modale

Nell'analisi non lineare delle strutture reticolari spaziali, il modo di buckling di un numero discreto di aste influenza talmente la risposta strutturale complessiva da produrre collasso anche per un livello di carico notevolmente inferiore a quello critico dell'intera struttura. Tale problema viene affrontato utilizzando l'approccio asintotico di Koiter e la teoria dei percorsi attrattivi in base alla quale, fra i molteplici percorsi post-critici della struttura, è possibile selezionare unicamente quelli significativi dal punto di vista meccanico e su questi studiare la risposta della struttura alle possibili imperfezioni. L'assunzione che i modi siano locali e simmetrici consente di identificare tali percorsi attrattivi attraverso la soluzione di un problema di programmazione quadratica non convessa: la ricerca di tutti i minimi locali di una funzione quadratica indefinita sul simplesso unitario. Il problema è stato risolto utilizzando un algoritmo ricorsivo branch--and--cut appositamente sviluppato. E’ stata anche effettuata una analisi di sensibilità all'imperfezione semplificata per ottenere così informazioni statistiche sul carico di collasso della struttura per una assegnata distribuzione delle imperfezioni geometriche e di carico.

La ricerca affronta, tramite un approccio numerico, la problematica della determinazione del fattore di sicurezza a shakedown, di generiche strutture modellate agli elementi finiti. Mentre nel caso della determinazione del moltiplicatore di collaso la verifica può essere condotta agevolmente con i metodi classici dell'analisi limite o, più efficientemente, con procedurre del tipo path-following per la verifica a shakedown non esistono, ancora oggi, strumenti di analisi efficienti dal punto di vista computazionale e tali da poter essere utilizzati in concreto in codici commerciali. Ciò limita anche la diffusione di tale strumento di verifica in ambito professionale. La ricerca si è quindi posta come obiettivo la realizzazione di un codice di analisi per effettuare la verifica a shakedown di strutture complesse, discretizzate secondo tecniche standard agli elementi finiti. Le applicazioni hanno riguardato sia strutture a telaio che stati piani di tensione e deformazione. Il dominio elastico del materiale è stato inizialmente linearizzato ed approssimato utilizzando un politopo convesso tangente al dominio effettivo. L’analisi è stata poi estesa al caso di generici domini nonlineari.

Elementi HC

L'interpolazione High Continuity è una tecnica di interpolazione di tipo spline che consente di ottenere un elevato grado di continuità nella rappresentazione della grandezza incognita. In tal modo già su mesh rade, e quindi a costi computazionali ridotti, è possibile ottenere ottimi risultati. Le applicazioni realizzate sono diverse: analisi di problemi bidimensionali in campo elastico e elasto-plastico; analisi postcritica di pannelli sottili; analisi agli elementi di contorno.

Elementi finiti misti

L'attività di ricerca è focalizzata sulla formulazione di elementi finiti ad alte prestazioni, ovvero elementi capaci di fornire buoni risultati a costi computazionali veramente ridotti. Tale obiettivo viene raggiunto mediante una formulazione mista dell'elemento finito la cui caratteristica principale è costituita dalla rappresentazione locale delle campo di tensioni. Le applicazioni in campo elastico riguardano l'analisi di problemi piani, in condizioni di tensione e deformazione piana, mediante elementi finiti quadrangolari a 6 e 8 nodi ottenuti sulla base di una formulazione di tipo assumed-stress. Sempre in campo elastico, sono state approfondite la problematiche riguardanti l’utilizzo di gradi di libertà di tipo drilling, ovvero rotazioni contenute nel piano medio del solido soggetto ad analisi. L’introduzione di tali gradi di libertà si rende necessaria, ad esempio, per la realizzazione di modelli ad elementi finiti di strutture scatolari 3D con descrizione, in ogni nodo della mesh, dei parametri cinematici di spostamento e rotazione.

L’attività di ricerca ha anche investigato l’utilizzo di formulazioni miste per applicazioni in campo non lineare. In particolare la formulazione debole alla base delle formulazioni miste è stata adattata all’analisi di solidi a comportamento elasto-plastico introducendo in forma debole le condizioni di ammissibilità plastica e di ottimalità alla Kuhn-Tucker. In tal modo è possibile formulare il problema elasto-plastico direttamente nello spazio dei parametri di interpolazione utilizzati per la rappresentazione dei campi di tensione all’interno del generico elemento finito. Seguendo tale procedura sono stati realizzati due tipi di elementi finiti a quattro nodi con rappresentazione continua e discreta della deformazione plastica.

Elementi Flat

La ricerca di alte prestazioni viene in questo caso effettuata nell'analisi elasto-plastica di lastre inflesse. La soluzione proposta è un elemento triangolare, denominato FLAT, caratterizzato da una notevole semplicità di formulazione.

Formulazioni simmetriche per l’analisi di solidi 2D

La ricerca riguarda lo sviluppo di una modellazione simmetrica di problemi bidimensionali, con la messa a punto di tecniche di integrazione di nuclei ad elevato ordine di singolarità. Il lavoro ha affrontato sistematicamente il problema della valutazione analitica dei contributi singolari. L'approccio seguito per sviluppare il processo di integrazione dei contributi singolari è caratterizzato dall'introduzione di funzioni di interpolazione definite su elementi contigui e dotate di opportune caratteristiche di regolarità. È stata anche investigata la possibilità di costruire forme simmetriche più semplici, in cui le condizioni al contorno non sono direttamente identificate con i campi di contorno, ma vengono imposte come minimo di una forma quadratica. Il vantaggio di questo metodo consiste nell’usare equazioni integrali standard, evitando sia il processo per eseguire la doppia integrazione che gli inconvenienti legati alla presenza di nuclei con elevate singolarità.

Elementi finiti derivati da discretizzazioni del contorno

La formulazione integrale sul contorno, sia standard che simmetrica, sono state utilizzate per generare elementi finiti multinodo di tipo compatibile. I campi interni di spostamento e tensione sono stati descritti mediante funzioni di Green nel ruolo di funzioni di forma, al posto delle usuali forme approssimanti di tipo polinomiale. I campi interni sono stati collegati alle funzioni polinomiali, usate per approssimare le variabili di contorno, attraverso relazioni derivate dall’equazione di Somigliana. Questa procedura è stata introdotta al fine di combinare l’accuratezza della discretizzazione ad elementi di contorno con la flessibilità nell’accoppiare elementi differenti tipica dei modelli caratterizzati da formulazioni energetiche. I modelli sono stati derivati seguendo due differenti approcci. Nel primo l’energia dell’elemento è stata espressa in funzione delle variabili di contorno, attraverso un’integrazione diretta sul dominio. Nel secondo si è fatto uso di una formulazione più complessa, basata sul metodo di Galerkin e sull’integrazione doppia di contorno ad esso associata. La natura singolare delle soluzioni fondamentali coinvolte nel secondo modello ha richiesto, in particolare, l’adozione di una tecnica di integrazione apposita basata su un approccio al limite. Entrambi i modelli sono stati posti alla base di procedure numeriche per l’analisi di problemi elastici piani.

Tecniche di decomposizione del dominio

L'approccio basato sulla minimizzazione degli errori sul contorno è stato esteso al contesto delle procedure di decomposizione del dominio, utili nei problemi strutturali complessi in cui la suddivisione in regioni è imposta da caratteristiche meccaniche e/o geometriche non omogenee. Lo procedura di modellazione sviluppata ha consentito di costruire forme simmetriche basate su discretizzazioni ad elementi di contorno per collocazione. La strategia di soluzione messa a punto è di tipo iterativo e si presta alla modellazione di problemi di accoppiamento BEM-FEM.

Lista di articoli su tematiche BEM

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Ricostruzione delle condizioni al contorno per problemi elastici tridimensionali

L'attività di ricerca riguardante l'identificazione strutturale è stata, in una prima fase, indirizzata al problema della ricostruzione delle condizioni al contorno per un problema elastico tridimensionale sulla base di misure di tensione in punti interni al dominio. Partendo da una discretizzazione ad elementi di contorno del problema, è stato formulato il legame diretto tra condizioni al contorno e tensioni nei punti interni condensando le quantità che non sono di interesse per l'analisi. Il mal-condizionamento del sistema è stato superato utilizzanto il classico approccio di Tikhonov unito ad un criterio della soluzione ottimale basato sulla criterio della Generalized Cross Validation.

Modellazione delle azioni sulle strutture

L'esperienza acquisita nel problema della ricostruzione delle condizioni al contorno è stata successivamente utilizzata per la modellazione delle azioni sulle strutture. Tali azioni vengono ricostruite sulla base di misure di tensione su un numero sufficiente di punti della struttura. In particolare, sono state considerate le strutture reticolari poichè possono essere viste come prototipo per una qualsiasi struttura discretizzata mediante elementi finiti. L'algoritmo per la soluzione del problema mal-condizionato si basa su un adattamento del metodo del gradiente coniugato unito ad una strategia Monte-Carlo per la valutazione del approssimata della funzione che fornisce la soluzione ottimale.

Diagnostica strutturale

Informazioni utili alla stima di difetti su parti meccaniche o strutturali possono essere tratte da prove non distruttive basate su semplici prove meccaniche di trazione oppure misure di conducibilità elettrica. In particolare una stima del volume dei difetti, definiti come zone con modulo elastico o conducibilità diversa dal materiale circostante, può essere dedotta per un corpo da misure condotte sulla frontiera del corpo stesso. Per il problema descritto, è possibile applicare una procedura che consente di ottenere stime dall'alto e dal basso del volume dell'inclusione incognita. L’appicabilità di tale approccio, che consente di utilizzare le stime suddette come strumento di decisione in prove di controllo della qualità, è stato investigata analizzando per via numerica diverse sequenze di problemi bidimensionali e tridimensionali effettuando uno studio parametrico e andando a verificare l’accuratezza della stime effettuabili. A tal fine sono stati utilizzati elementi finiti di tipo HC che consentono di contenere i costi computazionali. Nonostante ciò, in problemi tridimensionali, lo studio parametrico effettuato ha richiesto l'uso di elevate potenze di calcolo. In particolare è stata utilizzata una architettura a memoria distribuita basata sull’implementazione di algoritmi di calcolo parallelo.

Modelli Discontinuous-Galerkin

La disponibilità a basso costo di risorse di calcolo ad alte prestazioni negli ultimi anni è notevolmente aumentata. Ciò ha messo in una nuova luce tecniche di modellazione numerica che in assenza di potenze di calcolo adeguate sarebbero rimaste in secondo piano, confinate in ambiti specialistici molto ristretti. In particolare, esiste ormai una vasta letteratura sui metodi di dicretizzazione di tipo Discontinuous Galerkin la cui caratteristica principale è l'utilizzo di spazi d'interpolazione non vincolati dal rispetto delle condizioni di continuità fra elementi contigui. Il risultato è costituito dalla formulazione di equazioni locali al generico elemento il quale può essere trattato come un'entità compatta separata dal contesto agevolando un'implementazione di tipo parallelo adatta a strumenti di calcolo ad alte prestazioni. La ricerca che si propone intende approfondire tali tematiche in relazione a modelli strutturali tipici dell'ingegneria civile quali i modelli di piastra e di guscio sulla base sia di elementi finiti convenzionali che di elementi finiti di tipo Discontinuous Galerkin. Da un punto di vista più operativo si intendono utilizzare le attrezzature per il calcolo parallelo di cui è ora dotato il dipartimento di Strutture e implementare i modelli ad elementi finiti sopra citati all'interno di codici paralleli per il calcolo ad alte prestazioni. L'obiettivo di tale lavoro è investigare le problematiche, riguardanti la stabilità, le caratteristiche di convergenza e l'efficienza computazionale di tali formulazioni per applicazioni di tipo strutturale.

Modellazione FEM e strategie multi-livello per l’analisi di strutture complesse

Nella modellazione FEM di strutture generiche, in particolare strutture scatolari o parzialmente intelaiate, occorre descrivere adeguatamente anche situazioni di dettaglio cercando di mettere assieme componenti di vario tipo ottenendo, comunque, uno strumento realmente operativo. Sono state affrontate le problematiche relative allo sviluppo di un codice di calcolo che raggruppi e gestisca elementi strutturali di vario genere, consentendo una loro agevole connessione in un formato di analisi comune. Infatti, una modellazione separata dei singoli elementi senza considerarne le interazioni non crea in generale difficoltà, ma porta a descrizioni fra loro incompatibili e rende pertanto difficile l'analisi dell'intera struttura. Inoltre, le rilevanti dimensioni delle strutture realizzabili con le attuali tecnologie costruttive rendono opportuno il ricorso a strategie di analisi che risultino efficienti, oltre che accurate. E’ spesso richiesta, infatti, la soluzione di problemi a grande numero di variabili, non sempre ottenibile con procedimenti standard in tempi ragionevoli, per cui sono opportune delle strategie di soluzione più sofisticate. L'ambiente FEM eleborato affronta tutte queste problematiche. Vengono infatti utilizzati una serie di elementi finiti o, laddove conviene, macroelementi finiti. Un descrizione molto articolata, quale quella adottata, contrasta tuttavia con il requisito di efficienza computazionale complessiva. Per ovviare a ciò, viene introdotta una strategia di analisi iterativa di tipo multilivello che, per mezzo di una procedura di decomposizione incompleta, consente un marcato abbattimento dei tempi di calcolo.

Modellazione mista di solidi ortotropi soggetti a fenomeni di danno

Si propone un approccio FEM di tipo misto per la modellazione del comportamento macroscopico di pannelli murari. Il continuo di riferimento è bidimensionale, in condizioni di tensione piana ed il comportamento non lineare è affidato ad un modello di danno ortotropo per la descrizione di murature costituite da corsi regolari di malta e mattoni. Si è scelto di utilizzare una modellazione FEM di tipo misto utilizzata perché caratterizzata da elevata affidabilità e convenienza computazionale rispetto ad approcci FEM più tradizionali. I parametri discreti assunti nell'interpolazione della tensione sul generico elmento finito sono stati legati alla legge di danno ortotropo assunta pervenendo ad una valutazione diretta della danneggiata dell'elemento.

Modellazione BEM di strutture a pannelli

È stato sviluppato un modello ad elementi di contorno per l’analisi di strutture complesse 3D analizzabili mediante l’individuazione di sottodomini piani aventi proprietà omogenee. Ricadono in questa tipologia di strutture, ad esempio, gli impalcati da ponte, i nuclei irrigidenti delle strutture a telaio e le strutture costituite da pareti murarie. Per quest’ultima tipologia strutturale è stato implementato un programma di calcolo nel quale il singolo pannello, con rigidezza nel piano e fuori piano (piastra di Reissner), è modellato attraverso una discretizzazione ad elementi di contorno. Tale modellazione sfrutta il vantaggio che l’interazione tra i pannelli è fatta solo attraverso le variabili collocate sul bordo dello stesso e questo rappresenta il caso in cui le modellazioni BEM si mostrano più efficienti, oltre ad una rappresentazione più essenziale del modello in termini di variabili ed alla possibilità di ottenere soluzioni accurate con un numero di variabili limitato.